Знания из области математической логики можно использовать для конструирования электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых "ложь" и "истина". Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток. Устройства, фиксирующие два устойчивых состояния, называются бистабильными (например, выключатель, реле). Если вы помните, первые вычислительные машины были релейными. Позднее были созданы новые устройства управления электричеством - электронные схемы, состоящие из набора полупроводниковых элементов. Такие электронные схемы, которые преобразовывают сигналы только двух фиксированных напряжений электрического тока (бистабильные), стали называть логическими элементами .

На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей, а дизъюнкцию - в виде параллельно соединенных выключателей:

Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если "отсутствует" электрический сигнал, и 1, если "имеется" электрический сигнал. Простейшим логическим элементом является инвертор , выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот. У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается:

Логический элемент, выполняющий логическое сложение, называется дизъюнктор . Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается:

Логический элемент, выполняющий логическое умножение, называется конъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается:

Специальных логических элементов для импликации и эквивалентности нет, т.к. А => В можно заменить на А V В; А <=> В можно заменить на (A & B)V(A & B).

Другие логические элементы построены из этих трех простейших и выполняют более сложные логические преобразования информации. Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов. Например:

Эта схема соответствует сложной логической функции F(A,B)= (А V В).

Попробуйте проследить изменения электрического сигнала в этой схеме. Например, какое значение электрического сигнала (0 или 1) будет на выходе, если на входе: А=1 и В=0.

Такие цепи из логических элементов называются логическими устройствами . Логические устройства же, соединяясь, в свою очередь образуют функциональные схемы (их еще называют структурными или логическими схемами ). По заданной функциональной схеме можно определить логическую формулу, по которой эта схема работает, и наоборот.

Пример 1. Логическая схема для функции будет выглядеть следующим образом:

Правила составления электронных логических схем по заданным таблицам истинности остаются такими же, как для контактных схем.

Пример 2. Составить логическую схему для тайного голосования трех персон A, B, C, условия которого определяются следующей таблицей истинности:

A
B
C
F

Решение

По таблице построим СДНФ логической функции и упростим ее:

Правильность полученной формулы можно проверить, составив для нее таблицу истинности:

Значение полученной функции совпадает с исходным, что можно заметить, сравнивая таблицы.

Логическая схема полученной функции имеет вид:

Рассмотрим еще два логических элемента, которые играют роль базовых при создании более сложных элементов и схем.

Логический элемент И-НЕ состоит из конъюнктора и инвертора:

Логический элемент ИЛИ-НЕ состоит из дизъюнктора и инвертора:

Выходная функция выражается формулой .

Вопросы для самоконтроля

1. Основные логические операции: конъюнкция, дизъюнкия (оба вида), отрицание, импликация, эквивалентность. Примеры логических выражений.

2. Таблица истинности. Примеры. A and not A; A or not A

3. Основные законы математической логики: перестановочное, сочетательное и распределительное

4. Законы де Моргана (закон отрицания).

5. (Совершенная) дизъюнктивная нормальная форма. Пример

Цели урока:

Образовательные:

• закрепить у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера;
• закрепить навыки построения логических схем.

Развивающие:

• формировать развитие алгоритмического мышления;
• развить конструкторские умения;
• продолжать способствовать развитию ИКТ - компетентности;

Воспитательные:

• продолжить формирование познавательного интереса к предмету информатика;
• воспитывать личностные качества:
• активность,
• самостоятельность,
• аккуратность в работе;

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• основные базовые элементы логических схем;
• правила составления логических схем.

Учащиеся должны уметь:

• составлять логические схемы.

Тип урока: урок закрепления изученного материала

Вид урока: комбинированный

Методы организации учебной деятельности:

• фронтальная;
• индивидуальная;

Программно-дидактическое обеспечение:

• ПК, SMART Board, карточки с индивидуальным домашним заданием.

Урок разработан с помощью программы Macromedia Flash .

Ход урока

I. Постановка целей урока.

Добрый день!

Сегодня мы продолжаем изучение темы "Построение логических схем".

Приготовьте раздаточный материал "Логические основы ЭВМ. Построение логических схем" Приложение 1

Вопрос учителя. Назовите основные логические элементы. Какой логический элемент соответствует логической операции И, ИЛИ, НЕ?

Ответ учащихся. Логический элемент компьютера - это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию. Основные логические элементы конъюнктор (соответствует логическому умножению), дизъюнктор (соответствует логическому сложению), инвертор (соответствует логическому отрицанию).

Вопрос учителя. По каким правилам логические элементы преобразуют входные сигналы. Рассмотрим элемент И. В каком случае на выходе будет ток (сигнал равный 1).

Ответ учащихся. На первом входе есть ток (1, истина), на втором есть (1, истина), на выходе ток идет (1, истина).

Вопрос учителя. На первом входе есть ток, на втором нет, однако на выходе ток идет. На входах тока нет и на выходе нет. Какую логическую операцию реализует данный элемент?

Ответ учащихся. Элемент ИЛИ - дизъюнктор.

Вопрос учителя. Рассмотрим логический элемент НЕ. В каком случае на выходе не будет тока (сигнал равный 0)?

Ответ учащихся. На входе есть ток, сигнал равен 1.

Вопрос учителя. В чем отличие логической схемы от логического элемента?

Ответ учащихся. Логические схемы состоят из логических элементов, осуществляющих логические операции.

Проанализируем схему и определим сигнал на выходе.

II. Закрепление изученного материала.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнять арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом), становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве "кирпичиков" используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.

Дома вам необходимо было построить логические схемы, соответствующие логическим выражениям.

Вопрос учителя. Каков алгоритм построение логических схем?

Ответ учащихся. Алгоритм построение логических схем:

Определить число логических переменных.

Определить количество базовых логических операций и их порядок.

Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей элемент (вентиль).

Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Проверка домашнего задания Приложение 1 . Домашнее задание. Часть 1

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Алгебра логики дала конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. Проще, и быстрее изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей её формулы, чем создавать реальное техническое устройство.

Таким образом, цель нашего следующего урока - изучить законы алгебры логики.

IV. Домашнее задание. Часть 2

V. Практическая работа.

Программа - тренажер "Построение логических схем"

www.Kpolyakov.narod.ru Программа "Logic",

В цифровой схемотехнике цифровой сигнал - это сигнал, который может принимать два значения, рассматриваемые как логическая "1" и логический "0".

Логические схемы могут содержать до 100 миллионов входов и такие гигантские схемы существуют. Представьте себе, что булева функция (уравнение) такой схемы была потеряна. Как восстановить её с наименьшими потерями времени и без ошибок? Наиболее продуктивный способ - разбить схему на ярусы. При таком способе записывается выходная функция каждого элемента в предыдущем ярусе и подставляется на соответствующий вход на следующем ярусе. Этот способ анализа логических схем со всеми нюансами мы сегодня и рассмотрим.

Логические схемы реализуются на логических элементах: "НЕ", "И", "ИЛИ", "И-НЕ", "ИЛИ-НЕ", "Исключающее ИЛИ" и "Эквивалентность". Первые три логических элемента позволяют реализовать любую, сколь угодно сложную логическую функцию в булевом базисе . Мы будем решать задачи на логические схемы, реализованные именно в булевом базисе.

Для обозначения логических элементов используется несколько стандартов. Наиболее распространёнными являются американский (ANSI), европейский (DIN), международный (IEC) и российский (ГОСТ). На рисунке ниже приведены обозначения логических элементов в этих стандартах (для увеличения можно нажать на рисунок левой кнопкой мыши).

На этом уроке будем решать задачи на логические схемы, на которых логические элементы обозначены в стандарте ГОСТ.

Задачи на логические схемы бывают двух видов: задача синтеза логических схемы и задачи анализа логических схем. Мы начнём с задачи второго типа, так как в таком порядке удаётся быстрее научиться читать логические схемы.

Чаще всего в связи с построением логических схем рассматриваются функции алгебры логики:

• трёх переменных (будут рассмотрены в задачах анализа и в одной задаче синтеза);
• четырёх переменных (в задачах синтеза, то есть в двух последних параграфах).

Рассмотрим построение (синтез) логических схем

• в булевом базисе "И", "ИЛИ", "НЕ" (в предпоследнем параграфе);
• в также распространённых базисах "И-НЕ" и "ИЛИ-НЕ" (в последнем параграфе).

Задача анализа логических схем

Задача анализа заключается в определении функции f , реализуемой заданной логической схемой. При решении такой задачи удобно придерживаться следующей последовательности действий.

1. Логическая схема разбивается на ярусы. Ярусам присваиваются последовательные номера.
2. Выводы каждого логического элемента обозначаются названием искомой функции, снабжённым цифровым индексом, где первая цифра - номер яруса, а остальные цифры - порядковый номер элемента в ярусе.
3. Для каждого элемента записывается аналитическое выражение, связывающее его выходную функцию с входными переменными. Выражение определяется логической функцией, реализуемой данным логическим элементом.
4. Производится подстановка одних выходных функций через другие, пока не получится булева функция, выраженная через входные переменные.

Пример 1.

Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы, что уже показано на рисунке. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:

x , y , z :

x	y	z					f
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	0

Пример 2. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.

Пример 3. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.

Продолжаем искать булеву функцию логической схемы вместе

Пример 4. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.

Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:

Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x , y , z :

В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:

.

Таблица истинности для данной логической схемы:

x	y	z			f
1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1

Пример 5. Найдите булеву функцию логической схемы и составьте таблицу истинности для логической схемы.

Решение. Разбиваем логическую схему на ярусы. Структура данной логической схемы, в отличие от предыдущих примеров, имеет 5 ярусов, а не 4. Но одна входная переменная - самая нижняя - пробегает все ярусы и напрямую входит в логический элемент в первом ярусе. Запишем все функции, начиная с 1-го яруса:

Теперь запишем все функции, подставляя входные переменные x , y , z :

В итоге получим функцию, которую реализует на выходе логическая схема:

.

Таблица истинности для данной логической схемы:

x	y	z			f
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	1

Задача синтеза логических схем в булевом базисе

Разработка логической схемы по её аналитическому описанию имеет название задачи синтеза логической схемы.

Каждой дизъюнкции (логической сумме) соответствует элемент "ИЛИ", число входов которого определяется количеством переменных в дизъюнкции. Каждой конъюнкции (логическому произведению) соответствует элемент "И", число входов которого определяется количеством переменных в конъюнкции. Каждому отрицанию (инверсии) соответствует элемент "НЕ".

Часто разработка логической схемы начинается с определения логической функции, которую должна реализовать логическая схемы. В этом случае дана только таблица истинности логической схемы. Мы разберём именно такой пример, то есть, решим задачу, полностью обратную рассмотренной выше задаче анализа логических схем.

Пример 6. Построить логическую схему, реализующую функцию с данной таблицей истинности.

Лабораторная работа № 2. Алгебра логики

Цель работы

Изучить основы алгебры логики.

Задачи лабораторной работы

В результате прохождения занятия студент должен:

• определения основных понятий (простое и сложное высказывания, логические операции, логические выражения, логическая функция);
• порядок выполнения логических операций;
• алгоритм построения таблиц истинности;
• схемы базовых логических элементов;
• законы логики и правила преобразования логических выражений;

• применять загоны логики для упрощения логических выражений;
• строить таблицы истинности;
• строить логические схемы сложных выражений.

Общие теоретические сведения

Основные понятия алгебры логики

Логической основой компьютера является алгебра логики, которая рассматривает логические операции над высказываниями.

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Пример. «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.

Не всякое предложение является логическим высказыванием.

Пример. предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Пример. «x+2>5» - высказывательная форма, которая при x>3 является истинной, иначе ложной.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками .

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).

Пример. высказывание «Число 6 делится на 2» - простое высказывание. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» - составное высказывание, образованное из двух простых с помощью логической связки «и».

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Пример. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В». Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (табл. 1).

Таблица 1. Основные логические операции

НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком). Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Пример. Пусть А=«Сегодня пасмурно», тогда А=«Сегодня не пасмурно».

И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой « » (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Пример. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» - истинно, а высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 больше 10» - ложно.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением и обозначается знаком

(или плюсом). Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Пример: Высказывание «Число 6 делится на 2 или число 6 больше 10» - истинно, а высказывание «Число 6 делится на 5 или число 6 больше 10» - ложно.

ЕСЛИ … ТО Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «... влечет …», называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Пример. Высказывание «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно, эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил. В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «... равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~ . Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Пример: Высказывание «Число является четным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Число является нечетным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» - ложно.

ЛИБО … ЛИБО Операция, выражаемая связками «Либо … либо», называется исключающее ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается XOR или . Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В не совпадают.

Пример. Высказывание «Число 6 либо нечетно либо делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Либо число 6 четно либо число 6 делится на 3» – ложно, так как истинны оба высказывания входящие в него.

Замечание. Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Исключающее ИЛИ можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Вывод. Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и исключающего или и в последнюю очередь – импликация и эквиваленция.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Логическая формула - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Логическая функция - это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Пример . – логическая функция двух переменных A и B.

Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности .

Приведем таблицу истинности основных логических операций (табл. 2)

Таблица 2

A	B

Опираясь на данные таблицы истинности основных логических операций можно составлять таблицы истинности для более сложных формул.

Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:

• количество строк = 2 n + строка для заголовка,
• n - количество простых высказываний.

• количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;
• определить количество переменных (простых выражений);
• определить количество логических операций и последовательность их выполнения.

Пример 1. Составить таблицу истинности для формулы И–НЕ, которую можно записать так: .

1. Определить количество строк:

На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк =2 2 +1=5.

2. Определить количество столбцов:

Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и двух логических операций (1 инверсия, 1 конъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 4.

3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 3).

Таблица 3. Таблица истинности для логической операции

Примечание: И–НЕ называют также «штрих Шеффера» (обозначают |) или «антиконъюнкция» ; ИЛИ–НЕ называют также «стрелка Пирса» (обозначают ↓) или «антидизъюнкция» .

Пример 2. Составить таблицу истинности логического выражения .

Решение:

1. Определить количество строк:

На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк=2 2 +1= 5.

2. Определить количество столбцов:

Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и пяти логических операций (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 7.

Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.

3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 5).

Таблица 5. Таблица истинности для логической операции
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из “кирпичиков”.

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.

Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояний, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции, только представлена в форме логических схем. В такой форме удобно изображать цепочки логических операций и производить их вычисления.

Алгоритм построения логических схем.

1. Определить число логических переменных.
2. Определить количество логических операций и их порядок.
3. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей логический элемент.
4. Соединить логические элементы в порядке выполнения логических операций.

Пример. По заданной логической функции построить логическую схему.

Решение.

1. Число логических переменных = 2 (A и B).
2. Количество операций = 5 (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция). Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.
3. Схема будет содержать 2 инвертора, 2 конъюнктора и 1 дизъюнктор.
4. Построение надо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые, в свою очередь, подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).

Похожая информация.

Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции:

Рис 6.1 - Схематическое изображение логических операций

Пример. Для вычисления логического выражения: 1 или 0 и 1 нарисовать схему, от­ра­жающую последовательность выполнения логических операций. По схеме вычислить зна­чение логического выражения.

Здесь наглядно отражено то, что первой выполняется операцияи , затемили . Теперь в порядке слева – направо припишем к выходящим стрелкам результаты операций:

В результате получилась1 , т.е. «ИСТИНА».

Пример. Дано выражение:не (1 и (0 или 1) и 1).

Вычислить значение выражения с помощью логической схемы.

Решение. Логическая схема с результатами вычислений выглядит так:

Импликация и эквивалентность

Импликация (условное высказывание). В русском языке этой логической операции соответствуют союзы если..., то; когда..., тогда; коль скоро..., то и т. п.

Выражение, начинающееся после союзовесли, когда, коль скоро, называется основанием условного высказывания.

Выражение, стоящее после словто, тогда, называется следствием. В логических формулах операция импликации обозначается знаком «→». Импликация - двухместная операция; записывается так: А→В .

Эквивалентность. Языковой аналог - союзы если и только если; тогда и только тогда, когда... Эквивалентность обозначаетсязнаком «≡» или «↔».

Порядоквсех пяти логических операций по убыванию старшинства следующий: отрица­ние, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Преобразование логических выражений

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Основные формулы преобразования логических выражений:

2. (А & В) ≡ А В.

3. (А В) ≡ А & В.

4. (А → В) ≡А & В.

5. А→B ≡ A B.

6. А ↔ В ≡ (А & В) (А & В) ≡ (А В) & (А B).

7. А & (А B) ≡ А.

8. А А & В ≡ А.

9. А & (А В) ≡ А & В.

10. A А & В ≡ А В.

11. Законы коммутативности:

А & В ≡ В & А;

А В ≡ В А.

12. Законы ассоциативности:

(A B) С ≡ А (В С);

(А & В) & С ≡ А & (В & С).

13. Законы идемпотентности:

А А ≡ А;

14. Законы дистрибутивности:

А & (В С) ≡ (А & В) (А & С);

А (В & С) ≡ (А В) & (А С).

15. А 1 ≡ 1;

16. А & 1 ≡ А;

17. А А ≡ 1;

18. А & 0 ≡ 0;

19. А & А ≡ 0.

6.3. Задание на лабораторную работу

Задания распределяются в зависимости от выданного преподавателем mn -кода. Если m - число нечетное, то ваш вариант 1, если четное - вариант 2.

Задание 1. Используя логические операции, запишите высказывания, которые являются истинными при выполнении следующих условий:

Вариант 1.

1) хотя бы одно из чисел X, Y, Z положительно;

2) только одно из чисел X, Y, Z не является положительным.

3) только одно из чисел X, Y, Z больше 10

4) ни одно из чисел X, Y, Z не равно 104

Вариант 2.

1) хотя бы одно из чисел X, Y, Z отрицательно;

2) только одно из чисел X, Y, Z является отрицательным.

3) только одно из чисел X, Y, Z не больше 10

4) каждое из чисел X, Y, Z равно 0

Задание 2. Определите значение логического выражения не (X>Z) ине (X=Y), если:

Вариант 1.

1) X=3, Y=5, Z=2;

2) X=5, Y=0, Z=–8.

Вариант 2.

1) X=9, Y=–9, Z=9;

2) X=0, Y=1, Z=19.

Задание 3. Пусть a, b, c - логические величины, которые имеют следующие значения: а = истина , b= ложь , c = истина . Нарисуйте логические схемы для следующих логических выражений и вычислите их значения:

Вариант 1.

1) а и b;

2) не а или b;

3) а или b и с;

4) (а или b) и (c или b).

Вариант 2.

1) а или b;

2) а и b или с;

3) не а или b и с;

4) не (а и b и с).

Задание 4. Построить логические схемы по логическому выражению:

Вариант 1. x 1 и (не x 2 или x 3).

Вариант 2. x 1 и x 2 или не x 1 и x 3 .

Задание 5. Выполните вычисления по логическим схемам. Запишите соответствующие логические выражения:

Вариант 1. Вариант 2.

Задание 6. Дана логическая схема. Построить логическое выражение, соответствующее этой схеме.

Вычислить значение выражения для:

Вариант 1.

1) x 1 =0, x 2 =1;

2) x 1 =1, x 2 =1.

Вариант 2.

1) x 1 =1, x 2 =0;

2) x 1 =0, x 2 =0.

Задание 7. Дана логическая схема. Построить таблицу истинности для данной схемы.

Задание 8. Определить истинность формулы:

Вариант 1. ((a ) .

Вариант 2. .

Задание 9. Упростите выражение:

Вариант 1. .

Вариант 2. .

6.4. Требования к содержанию отчета

1. Цель лабораторной работы.

2. Задание на лабораторную работу. Mn – код.

3. Результаты решения заданий своего варианта.

4. Выводы по полученным результатам.

6.5. Контрольные вопросы

1. Что такое логическое высказывание, константа, переменная, формула?

2. Какие виды логических операций рассматриваются в лабораторной работе?

3. Таблицы истинности для импликации и эквивалентности?

4. Перечислите законы алгебры логики?

Лабораторная работа №7
"СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ"

7.1. Цель работы

Изучение систем счисления. Приобретение навыков перевода из одной системы счи­с­ления в другую

7.2. Методические указания

Развернутой формой записи числа называется запись в виде:

A q =±(a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 +…+ a 0 q 0 + a –1 q -1 + a -2 q -2 + …+ а -m q -m).

Здесь А q - само число, q - основание системы счисления, а i - цифры данной системы счи­сления, n - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части чис­ла.

Пример. Получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.

32478 10 = 3*10000 + 2*1000 + 4*100 + 7*10 + 8 = 3*10 4 + 2*10 3 + 4*10 2 + 7*10 1 + 8*10 0 .

26,387 10 = 2*10 1 + 6*10 0 + 3*10 -1 + 8*10 -2 + 7*10 -3 .

Пример. Получить развернутую форму чисел 112 3 , 101101 2 , 15FC 16 , 101,11 2

112 3 =1*10 2 + 1*10 1 + 2*10 0 .

1011012 = 1*10 101 + 0*10 100 + 1*10 11 + 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 .

15FC 16 = 1*10 3 + 5 *10 2 + F*10 1 + С.

101,11 2 = 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 + 1*10 -1 + 1*10 -10 .

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то по­лу­чится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится пе­ревод из недесятичной системы в десятичную.

Пример. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему.

112 3 =1*3 2 + 1*3 1 + 2*3 0 = 9+3+2 = 14 10 .

101101 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 =32+8+4+1 = 45 10 ,

15FC 16 = 1*16 3 + 5*16 2 + 15*16 1 + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10 .

101,11 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 + 1*2 –1 + 12 -2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75 10 .